Question

设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosC=（2a-c）cosB．
（Ⅰ）求B的大小；
（Ⅱ）求sinA+sinC的取值范围．

Answer 1

分析：（I）由已知条件及正弦定理得sinBcosC=（2sinA-sinC）cosB=2sinAcosB-sinCcosB，结合和角公式化简可求cosB，进一步可求B，
（II）由（I）可得B=

π

3

，C=

2

3

π-A由△ABC为锐角三角形，可得

0＜A＜ π 2 0＜ 2 3 π-A＜ π 2 .

从而可得 A的范围，而sinA+sinC=sinA+sin（

2π

3

-A），利用差角公式及辅助角公式化简可得

3

sin(A+

π

6

)，从而可求．

解答：解：（I）由条件及正弦定理得sinBcosC=（2sinA-sinC）cosB=2sinAcosB-sinCcosB．
则sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosB．
∴sin（B+C）=2sinAcosB，又sin（B+C）=sinA≠0，
∴cosB=

1

2

，又0＜B＜π，
∴B=

π

3

．
（Ⅱ）由A+B+C=π及B=

π

3

，得C=

2

3

π-A．
又△ABC为锐角三角形，
∴

0＜A＜ π 2 0＜ 2 3 π-A＜ π 2 .

∴

π

6

＜A＜

π

2

．
sinA+sinC=sinA+sin(

2

3

π-A)=

3

2

sinA+

3

2

cosA=

3

sin(A+

π

6

)．
又A+

π

6

∈(

π

3

，  

2

3

π)，
∴sin(A+

π

6

)∈(

3

2

，  1]．
∴sinA+sinC∈(

3

2

，  

3

]．

点评：（I）考查了正弦定理，两角和的正弦公式，及特殊角的三角函数值
（II）本题的关键是由△ABC为锐角三角形，建立关于A的不等式，进而求出A的范围，而辅助角公式的应用可以把不同名的三角函数化为一个角的三角函数，结合三角函数的性质进行求解．