Question

对于定义域为D的函数y=f（x），若同时满足下列条件：
①f（x）在D内单调递增或单调递减；
②存在区间[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]；那么把y=f（x）（x∈D）叫闭函数．
（1）求闭函数y=-x³符合条件②的区间[a，b]；
（2）判断函数f（x）=x²是不是闭函数，若是，请找出区间[a，b]，若不是，请另增加一个条件，使f（x）是闭函数．
（3）若函数y=k+

x+2

是闭函数，且在定义域内是增函数，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用函数g（x）=-x³在R上为单调减函数的特点，由g（a）=b，g（b）=a列方程即可解得a，b
（2）由于函数f（x）=x²在R上不单调，故不是闭函数，但在单调区间[0，+∞）上可能为闭函数，利用与（1）相同的方法即可找到满足条件的区间
（3）函数y=k+

x+2

在[-2，+∞）单调递增，若存在区间[a，b]⊆[-2，+∞），使得在区间[a，b]上值域为[a，b]，则得到关于a，b的方程组，此方程组有[-2，+∞）上的解即可，转化为二次函数根的分布问题列不等式即可得k的取值范围

解答：解：（1）由题意，∵y=-x³在[a，b]上递减，要使g（x）在[a，b]上的值域为[a，b]
则需

b=-a3 a=-b3 b＞a

解得

a=-1 b=1

∴所求的区间为[-1，1]
（2）∵函数f（x）=x²的定义域为R，但在[0，+∞）是增函数，在（-∞，0]上是减函数，∴f（x）在R上不满足条件①，∴f（x）不是闭函数．
若D=[0，+∞），则f（x）是D上的增函数，满足条件①，设满足条件②的区间为[a，b]，
则

0≤a＜b a2=a b2=b

⇒

a=0 b=1

∴存在区间[a，b]=[0，1]使f（x）满足条件②
∴f（x）=x²（x∈[0，+∞））是闭函数，增加的条件是：D=[0，+∞）．
（3）∵函数y=k+

x+2

在[-2，+∞）单调递增，若y=k+

x+2

是闭函数，
则存在区间[a，b]⊆[-2，+∞），使得在区间[a，b]上值域为[a，b]，
即

a=k+ a+2 b=k+ b+2

，
∴a，b为方程x=k+

x+2

的两个实数根，
即方程x²-（2k+1）x+k²-2=0（x≥-2，x≥k）有两个不等的实根．
令h（x）=x²-（2k+1）x+k²-2
有

△＞0 f(-2)≥0 f(k)≥0 2k+1 2 ＞-2

，解得-

9

4

＜k≤-2．
∴k的取值范围为(-

9

4

，-2]．

点评：本题考查了新定义型函数的理解和运用能力，函数单调性的应用，转化化归的思想方法