Question

已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,一条经过点(3,- )且方向向量为a=(-2,)的直线l交椭圆C于A、B两点,交x轴于M点.又=2.

(1)求直线l的方程;

(2)求椭圆C长轴长的取值范围.

Answer 1

解：(1)直线l过点(3,-),且方向向量a=(-2,),

∴l的方程为=,即y=-(x-1).

(2)设直线y=-(x-1)和椭圆+=1交于两点A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂),和x轴交于点M(1,0),

由=2,知y₁=-2y₂.

将x=-y+1代入b²x²+a²y²=a²b²中,得(b²+a²)y²-b²y+b²(1-a²)=0.

由韦达定理有

∵有两交点,

∴Δ=(b²)²-4(b²+a²)·b²(1-a²)＞0,

化简得5a²+4b²＞5.                                                             （3）

由（1）（2）消去y₂,得32b²=(4b²+5a²)(a²-1),

即4b²=＞0.                                                    （4）

将（4）代入（3）,得5a²+＞5.                                     （5）

可求得1＜a²＜9.

又椭圆的焦点在x轴上,则a²＞b².

∴4b²=＜4a².

综上,得1＜a²＜;可解得1＜a＜.

∴所求椭圆长轴长2a的范围是(2,).