Question

21.已知函数f(x)＝|x－a|,g(x)＝x²＋2ax＋1(a为正常数),且函数f(x)与g(x)的图象在y轴上的截距相等.

　　(1)求a的值;

　　(2)求函数f(x)＋g(x)的单调递增区间；

　　(3)若n为正整数,证明：10^f(n)·()^g(n)<4.

Answer 1

21.［解］(1)由题意,f(0)＝g(0),|a|＝1,又a>0,∴a＝1.            

(2)f(x)＋g(x)＝|x－1|＋x²＋2x＋1,

当x≥1时,f(x)＋g(x)＝x²＋3x,它在［1,＋∞］上单调递增；  

当x<1时,f(x)＋g(x)＝x²＋x＋2,它在［－,1］上单调递增.

因此,函数f(x)＋g(x)的单调递增区间为［－,＋∞］.  　［证法一］(3)设c_n＝10^f(n)·()^g(n),考查数列｛c_n｝的变化规律.

解不等式<1,由c_n>0,上式化为10·()<1,

解得n>－－≈3.7,

∵n是正整数,得n≥4,

于是c₁≤c₂≤c₃≤c₄,而c₄>c₅>…,                     　

∴10^f(n)·()≤10³·()<4.                     ［证法二］(3)10·()＝10·(),考查

lg＝(n－1)＋(n＋1)²lg＝(lg)n²＋(1＋2lg)n＋

(－1＋lg)                                        

∵lg<0,当x＝－≈4.2时,

函数(lg)x²＋(1＋2lg)x＋(－1＋lg)达到最大值.

∴若n为正整数时,则当n＝4时,lg达到最大值.于是,lg≤lg<0.6,

而lg4>0.6,∴lg

即10^(n－1)·()<4.