Question

已知定义在的函数,对任意的、，都有，且当时，.

（1）证明：当时，；

（2）判断函数的单调性并加以证明；

（3）如果对任意的、，恒成立，求实数的取值范围.

 

Answer 1

【答案】

（1）先证明，进而证明当时，；

（2）严格按照单调函数的定义证明即可；

（3）

【解析】

试题分析：(1)证明:取,

又,即,

所以当时，；.

(2)在上是减函数,证明如下:

设,

在上是减函数.

(3) ，

而，所以实数的取值范围为.

考点：本小题主要考查抽象函数的性质.

点评：解决抽象函数问题的主要方法是“赋值法”，而且抽象函数的单调性的证明知能用定义，利

用基本不等式求最值时，要注意“一正二定三相等”三个条件缺一不可.