Question

已知两定点M（4，0），N（1，0），动点P满足|

PM

|=2|

PN

|．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）若点G（a，0）是轨迹C内部一点，过点G的直线l交轨迹C于A、B两点，令f(a)=

GA

•

GB

，求f（a）的取值范围．

Answer 1

分析：（1）设出点的坐标，利用动点P满足|

PM

|=2|

PN

|，建立方程，化简可得结论；
（2）分类讨论，利用向量的数量积公式，结合韦达定理，即可得出结论．

解答：解：（1）设P的坐标为（x，y），则

PM

=(4-x，-y)，

PN

=(1-x，-y)
∵动点P满足|

PM

|=2|

PN

|，
∴

(4-x)2+y2

=2

(1-x)2+y2

，
整理得x²+y²=4；
（2）①当直线l的斜率不存在时，直线的方程为x=a，不妨设A在B的上方，直线方程与x²+y²=4联立，可得A（a，

4-a2

），B（a，-

4-a2

），
∴f(a)=

GA

•

GB

=（0，

4-a2

）•（0，-

4-a2

）=a²-4；
②当直线l的斜率存在时，设直线的方程为y=k（x-a），
代入x²+y²=4，整理可得（1+k²）x²-2ak²x+（k²a²-4）=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=

2ak2

1+k2

，x₁x₂=

k2a2-4

1+k2

∴f(a)=

GA

•

GB

=（x₁-a，y₁）•（x₂-a，y₂）=x1x2-a(x1+x2)+k2(x1-a)(x2-a)=a²-4，
由①②得f（a）=a²-4，
∵点G（a，0）是轨迹C内部一点，
∴-2＜a＜2，∴0≤a²＜4，∴-4≤a²-4＜0，
∴f（a）的取值范围是[-4，0）．

点评：本题考查向量知识的运用，考查直线与圆的位置关系，考查分类讨论的数学思想，考查学生的计算能力，属于中档题．