Question

已知m＞0，p：（x+1）（x-5）≤0，q：1-m≤x≤1+m．
（1）若m=5，“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求实数x的取值范围．
（2）若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）将m=5代入，解不等式，可分别求出命题p，命题q对应的x的取值范围，结合已知可得p与q一真一假，分p真q假时和p假q真时，两种情况讨论，综合讨论结果可得答案．
（2）根据充要条件判定的集合法，可得[-1，5]是[1-m，1+m]的真子集，根据真子集的定义构造关于m的不等式组，解不等式组可得答案．

解答：解：（1）当m=5时，q：-4≤x≤6 …..（2分）
∵p：（x+1）（x-5）≤0，即-1≤x≤5
由“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，可得p与q一真一假，…..（3分）
p真q假时，由

-1≤x≤5 x＜-4，或x＞6

，此不等式组无解…..（5分）
p假q真时，由

-4≤x≤6 x＜-1，或x＞5

，解得-4≤x＜-1，或5＜x≤6．…..（7分）
∴实数m的取值范围为[-4，-1）∪（5，6]．                               …..（8分）
（2）∵p是q的充分条件不必要条件，
∴[-1，5]是[1-m，1+m]的真子集． …..（12分）
∴

1-m≤-1 1+m≥5

，解得m≥4，∴实数m的取值范围为[4，+∞）． …..（14分）

点评：本题考查的知识点是复合命题的真假，充要条件，解答（1）的关键是分析出p与q一真一假，解得（2）的关键是分析出[-1，5]是[1-m，1+m]的真子集