Question

某种项目的射击比赛，开始时在距目标100m处射击，如果命中记3分，且停止射击；若第一次射击未击中，可以进行第二次射击，但目标已在150m处，这时命中记2分，且停止射击；若第二次仍未命中，还可以进行第三射击，此时目标已在200m处，若第三次命中记1分，并停止射击；若三次都未命中，则记0分．已知射手甲在100m处击中目标的概率为0.5，他的命中率与距离的平方成反比，且各次射击都是独立的，设这位射手在这次射击比赛中的得分数为ξ．
（I）求ξ的分布列；
（II）求ξ的数学期望．

Answer 1

分析：（I）设在xm处击中目标的概率为P（x），则依题意有P（x）=

k

x2

，又由题意知：

1

2

=

k

1002

，所以k=5000，则P（x）=

5000

x2

，从而在150m处击中目标的概率为

5000

1502

=

2

9

，在200m处击中目标的概率为

5000

2002

=

1

8

．由此能求出ξ的分布列．（II）利用ξ的分布列，能求出Eξ．

解答：解：（I）设在xm处击中目标的概率为P（x），
则依题意有P（x）=

k

x2

，
又由题意知：

1

2

=

k

1002

，
所以k=5000，则P（x）=

5000

x2

，…（3分）
从而在150m处击中目标的概率为

5000

1502

=

2

9

，…（5分）
在200m处击中目标的概率为

5000

2002

=

1

8

．…（6分）
于是P（ξ=0）=

1

2

×

7

9

×

7

8

=

49

144

，
P（ξ=1）=

1

2

×

7

9

×

1

8

=

7

144

，
P(ξ=2)=

1

2

×

2

9

=

1

9

，
P(ξ=3)=

1

2

，…（9分）
从而ξ的分布列如下：

ξ	0	1	2	3
P	49 144	7 144	1 9	1 2

…（10分）
（II）Eξ=0×

49

144

+1×

7

144

×2×

1

9

+3×

1

2

=

85

48

．　　　　　…（13分）

点评：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，考查学生的运算能力，考查学生探究研究问题的能力，解题时要认真审题，理解古典概型的特征：试验结果的有限性和每一个试验结果出现的等可能性，体现了化归的重要思想．