Question

（理）函数f(x)=

log2x-1

log2x+1

，若f（4x₁）+f（4x₂）=1，x₁＞1，x₂＞1，则f（x₁x₂）的最小值为（　　）

• A．

  2

  3

• B．

  1

  3

• C．2
• D．

  2

Answer 1

分析：由于f（x₁x₂）的结构不清，故需要先对所给的条件f（4x₁）+f（4x₂）=1进行变形，进行探究，再由探究出的结果求f（x₁x₂）的最小值，

解答：解：∵函数f(x)=

log2x-1

log2x+1

=1-

2

log2x+1

，且f（4x₁）+f（4x₂）=1，log₂x₁＞0，log₂x₂＞0
∴f（4x₁）+f（4x₂）=2-

2

1+log24x1

-

2

1+log24x2

=1
∴

1

1+log24x1

+

1

1+log24x2

=

1

2

即

1

log28x1

+

1

log28x2

=

1

2

∴

log28x1+log28x2

log28x1•log28x2

=

1

2

∵log₂8x₁•log₂8x₂≤(

log28x1+log28x2

2

)2=

log264x1x2

4

∴

1

2

log₂8x₁•log₂8x₂≤

log264x1x2

8

∴log₂8x₁+log₂8x₂=log264x1x2≤

(log264x1x2)2

8

解不等式可得log₂64x₁x₂≥8即x₁x₂≥4
∴0＜log₂x₁x₂≤2
∴f（x₁x₂）=1-

2

1+log2x1x2

的最小值为

1

3

故选B

点评：本题考查函数最值及其几何意义，解题的关键是理解题意，对题设中所给的条件进行探究，逐步寻求它们与f（x₁x₂）的关系，利用基本不等式判断出最小值，本题变形灵活，技巧性高，题后应好好总结