Question

（2012•顺义区二模）设数列{a_n}是公比为正数的等比数列，a₁=3，a₃=2a₂+9
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=log₃a₁+log₃a₂+log₃a₃+…+log₃a_n，求数列{

1

bn

}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由a₁=3，a₃=2a₂+9，设公比为q，则有 3q²=2×3×q+9，解得 q的值，即可求得数列{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）由于b_n=log₃a₁+log₃a₂+log₃a₃+…+log₃a_n=log₃ （a₁•a₂•a₃…a_n），把通项公式代入，利用对数的运算性质化简可得b_n=

n(n+1)

2

，可得

1

bn

=

2

n(n+1)

，用裂项法求得数列{

1

bn

}的前n项和S_n．

解答：解：（Ⅰ）∵数列{a_n}是公比为正数的等比数列，a₁=3，a₃=2a₂+9，设公比为q，
则 3q²=2×3×q+9，解得 q=3，或 q=-1（舍去），故a_n=3×3ⁿ¹=3ⁿ．
（Ⅱ）∵b_n=log₃a₁+log₃a₂+log₃a₃+…+log₃a_n=log₃ （a₁•a₂•a₃…a_n）
=log₃ 3^{1+2+3+••+n}=1+2+3+…+n=

n(n+1)

2

，
故有

1

bn

=

2

n(n+1)

=2[

1

n

-

1

n+1

]，
故有 S_n=2[（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）]=2（1-

1

n+1

）=

2n

n+1

．

点评：本题主要考查等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式，等比数列的前n项和公式，用裂项法求和，
求出公比，是解题的关键，属于中档题．