Question

在等腰△ABC中，D是腰AC的中点，若sin∠CBD=

1

4

，则sin∠ABD=（　　）

• A、

  10

  8

• B、

  6

  4

• C、

  10

  4

• D、

  6

  8

Answer 1

分析：记∠CBD=α，∠ABD=β，在△BCD、△ABD中，由正弦定理分别可得

CD

sinα

=

BD

sinC

，

AD

sinβ

=

AD

sinA

，两式相除并化简可得sinβ=

cosC

2

，代入cosC=cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ，化简可得cos²β=

81

15

sin²β结合cos²β+sin²β=1可得关于sinβ的方程，解此方程可得．

解答：解：记∠CBD=α，∠ABD=β，由题意sinα=

1

4

，
在△BCD中，由正弦定理可得

CD

sinα

=

BD

sinC

，
在△ABD中，由正弦定理可得

AD

sinβ

=

AD

sinA

=

BD

sinA

，
两式相除可得

sinβ

sinα

=

sinA

sinC

，即sinβ=

sinA

4sinC

=

sin(π-2C)

4sinC

=

sin2C

4sinC

=

2sinCcosC

4sinC

=

cosC

2

，
变形可得cosC=2sinβ，
又cosC=cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ，
∴2sinβ=

15

4

cosβ-

1

4

sinβ，
即

15

cosβ=9sinβ，
上式平方可得15cos²β=81sin²β，
即cos²β=

81

15

sin²β
又∵cos²β+sin²β=1，
∴

96

15

sin²β=1，
解得sinβ=

10

8

，即sin∠ABD=

10

8

故选A

点评：本题考查三角形中的几何运算，涉及正弦定理和三角函数公式的应用，属中档题．