Question

关于二项式（x-1）²⁰⁰⁵有下列命题：
①该二项展开式中非常数项的系数和是1；
②该二项展开式中第六项为C₂₀₀₅⁶x¹⁹⁹⁹；  
③该二项展开式中系数最大的项是第1002项；
④当x=2006时，（x-1）²⁰⁰⁵除以2006的余数是2005．
其中正确命题的序号是

①④

．（注：把你认为正确的命题序号都填上）

Answer 1

分析：令x=1求出二项式（x-1）²⁰⁰⁵所有项的系数和，令x=0求出常数项，从而求出非常数项的系数和，即可判定①的真假；根据二项式展开式的通项公式求出第六项进行判定②的真假；根据二项展开式的特点可知系数绝对值最大的项，可判定③的真假；当x=2006时，（x-1）²⁰⁰⁵除以2006的余数是2006-l=2005，可判定④的真假．

解答：解：令x=1求出二项式（x-1）²⁰⁰⁵所有项的系数和为0，令x=0求出常数项为-l，非常数项的系数和是1，即得①正确；
二项展开式的第六项为C₂₀₀₅⁵x²⁰⁰⁰，即得②错误；
二项展开式中系数绝对值最大的项为

C	2005-1 2 2005

=C₂₀₀₅¹⁰⁰²，-

C	2005+1 2 2005

=-C₂₀₀₅¹⁰⁰³，得系数最大的项是第1003项C₂₀₀₅¹⁰⁰²•x¹⁰⁰³，即③错误；
当x=2006时，（x-1）²⁰⁰⁵除以2 006的余数是2006-l=2005，即④正确．
故答案为：①④．

点评：本题主要考查了二项式系数的性质，以及特定项以及系数最大项，同时考查了分析问题的能力，属于中档题．