Question

设有一颗彗星沿一椭圆轨道绕地球运行，地球恰好位于椭圆轨道的焦点处，当此彗星离地球相距m万千米和m万千米时，经过地球和彗星的直线与椭圆的长轴夹角分别为和,求该彗星与地球的最近距离.

Answer 1

剖析：本题的实际意义是求椭圆上一点到焦点的距离，一般的思路：由直线与椭圆的关系，列方程组解之；或利用定义法抓住椭圆的第二定义求解.同时，还要注意结合椭圆的几何意义进行思考.仔细分析题意，由椭圆的几何意义可知：只有当该彗星运行到椭圆的较近顶点处时，彗星与地球的距离才达到最小值即为a-c，这样把问题就转化为求a、c或a-c.

解：建立如下图所示直角坐标系，设地球位于焦点F（-c,0）处，椭圆的方程为+=1,

    当过地球和彗星的直线与椭圆的长轴夹角为π3时，由椭圆的几何意义可知，彗星A只能满足∠xFA=(或∠xFA′=).

    作AB⊥Ox于B，则｜FB｜=｜FA｜=m,

    故由椭圆的第二定义可得

   

    两式相减得m=·m,∴a=2c.

    代入①,得m=(4c-c)=c,

    ∴c=m.

    ∴a-c=c=m.

     答:彗星与地球的最近距离为m万千米.

讲评：(1)在天体运行中，彗星绕恒星运行的轨道一般都是椭圆,而恒星正是它的一个焦点，该椭圆的两个端点，一个是近地点,另一个则是远地点，这两点到恒星的距离一个是a-c,另一个是a+c.

    (2)以上给出的解答是建立在椭圆的概念和几何意义之上的，以数学概念为根基充分体现了数形结合的思想.另外，数学应用问题的解决在数学化的过程中也要时刻不忘审题，善于挖掘隐含条件，有意识地训练数学思维品质.