Question

从点A（-6，-4）处发出一条光线，与直线y=x+1相遇于点B后反射，反射光线恰与圆x²+y²=5相切，求线段AB的长．

Answer 1

分析：先求出点A（-6，-4）关于直线y=x+1对称的点为A'的坐标，用点斜式求得直线A'B的方程，再根据圆心到直线A'B的距离等于半径，求出直线A'B的斜率，可得直线A'B的方程．把直线A'B的方程和直线y=x+1联立方程组求得B的坐标，即可求得AB的长度．

解答：解：设点A（-6，-4）关于直线y=x+1对称的点为A'（x₀，y₀），
则

y0-(-4) x0-(-6) =-1 y0+(-4) 2 = x0+(-6) 2 +1

，解得

x0=-5 y0=-5

．
据物理学知识可知反射光线的反向延长线必过A'（-5，-5），…（4分）
所以，可设直线A'B的方程为：y+5=k（x+5）…（5分）
则圆心到直线A'B的距离d=

|5k-5|

k2+1

=

5

，…（7分）
解得k=2，或k=

1

2

（根据题意要舍去）． …（8分）
联立直线方程

y+5=2(x+5) y=x+1

，解得

x=-4 y=-3

，即B的坐标为（-4，-3），…（9分）
∴|AB|=

(-6-(-4))2+(-4-(-3))2

=

5

．…（10分）

点评：本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，求一个点关于直线的对称点的坐标的方法，属于中档题．