Question

设T_n为数列{a_n}的前n项乘积，满足Tn=1-an(n∈N*)
（1）设bn=

1

Tn

，求证：数列{b_n}是等差数列；
（2）设cn=2n•b_n，求证数列{c_n}的前n项和S_n；
（3）设An=

T

e 1

+

T

e 2

+…

T

e n

，求证：an+1-

1

2

＜An≤-

1

4

．

Answer 1

分析：（1）由T_n=1-a_n，an=

Tn

Tn-1

，n≥2，知Tn=1-

Tn

Tn-1

，从而

1

Tn

-

1

Tn-1

=1，由此能证明数列{b_n}是等差数列．
（2）由（1）知b_n=2+（n-1）=n+1，从而c_n=（n+1）•2ⁿ，故S_n=2•2+3•2²+…+（n+1）•2ⁿ，利用错位相减法能求出数列{c_n}的前n项和S_n．
（3）由Tn=

1

bn

=

1

n+1

，知n≥2时，an=

Tn

Tn-1

=

n

n+1

，由a1=

1

2

，知an=

n

n+1

，n∈N* ，由此利用放缩法能够证明an+1-

1

2

＜An≤-

1

4

．

解答：解：（1）∵T_n=1-a_n，an=

Tn

Tn-1

，n≥2，
∴Tn=1-

Tn

Tn-1

，从而

1

Tn

-

1

Tn-1

=1，（n≥2）
∴b_n-b_n-1=1，（n≥2）
∵T₁=a₁=1-a₁，
∴a1=

1

2

，b1=

1

T1

=

1

a1

=2，
∴{b_n}是以2为首项，1为公差的等差数列．
（2）由（1）知b_n=2+（n-1）=n+1，从而c_n=（n+1）•2ⁿ，
∴S_n=2•2+3•2²+…+（n+1）•2ⁿ，
2S_n=2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ+（n+1）•2ⁿ⁺¹，
两式相减，得-S_n=4+（2²+2³+…+2ⁿ）-（n+1）•2ⁿ⁺¹
=4+

4(1-2n-1)

1-2

-（n+1）•2ⁿ⁺¹
=-n•2ⁿ⁺¹，
∴S_n=n•2ⁿ⁺¹．
（3）∵Tn=

1

bn

=

1

n+1

，
∴n≥2时，an=

Tn

Tn-1

=

n

n+1

，
∵a1=

1

2

，∴an=

n

n+1

，n∈N* ，
An=T12+T22+…+Tn2
=

1

22

+

1

32

+…+

1

(n+1)2

＞

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

(n+1)(n+2)

=

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n+1

-

1

n+2

=

1

2

-

1

n+2

=an+1-

1

2

，
∴An＞an+1-

1

2

，
又∵当n≥2时，An=T12+T22+…+Tn2
=

1

22

+

1

32

+…+

1

(n+1)2

=

1

22

+

1

32

+…+

1

(n+1)2

＜

1

22

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

n(n+1)

=

1

22

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+1

=

1

4

+

1

2

-

1

n+1

=an-

1

4

，
an+1-

1

2

＜An≤-

1

4

．

点评：本题考查等差数列的证明，考查前列的前n项和的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意错位相减法和放缩法的合理运用．