Question

设f（x）=x²-πx，α=arcsin

1

3

，β=arctan

5

4

，γ=arcos（-

1

3

），δ=arccot（-

5

4

），则（　　）

A．f（α）＞f（β）＞f（δ）＞f（γ）

B．f（α）＞f（δ）＞f（β）＞f（γ）

C．f（δ）＞f（α）＞f（β）＞f（γ）

D．f（δ）＞f（α）＞f（γ）＞f（β）

Answer 1

分析：根据反三角函数的性质，得α＜

π

6

＜

π

4

＜β＜

π

3

且γ＜

2π

3

＜

3π

4

＜δ＜

5π

6

．由f（x）=x²-πx的图象是开口向上的抛物线，其对称轴为x=

π

2

，讨论α、β、γ和δ与对称轴的远近，即可得到f（γ）＜f（β）＜f（δ）＜f（α），从而得到本题的答案．

解答：解：∵arcsin

1

3

＜arcsin

1

2

=

π

6

，arctan1=

π

4

＜arctan

5

4

＜arctan

3

=

π

3

∴α＜

π

6

＜

π

4

＜β＜

π

3

又∵arcos（-

1

3

）＜arcos（-

1

2

）=

2π

3

，

3π

4

=arccot（-1）＜arccot（-

5

4

）＜arccot（-

3

）=

5π

6

，
∴γ＜

2π

3

＜

3π

4

＜δ＜

5π

6

．
∵f（x）=x²-πx，
∴f（x）的图象是抛物线，其对称轴为x=

π

2

，
∵抛物线开口向上，∴与对称轴x=

π

2

距离越近的自变量对应的函数值越小
∵|γ-

π

2

|＜

π

6

＜|β-

π

2

|＜

π

4

＜|δ-

π

2

|＜

π

3

＜|α-

π

2

|
∴函数值从小到大依次是：f（γ）＜f（β）＜f（δ）＜f（α）
故选：B．

点评：本题给出几个反三角函数的值，求用它们作为自变量得到二次函数值的大小关系，着重考查了二次函数的图象与性质和反函数函数的定义域、值域等知识，属于中档题．