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设函数f(x)定义在实数集上,当x≥1时,f(x)=3x-1,且f(x+1)是偶函数,则有(  )
分析:当x≥1时,f(x)=3x-1,单调递增,利用f(x+1)是偶函数把f(
1
3
)、f(
2
3
)转化为区间[1,+∞)上的函数值即可比较大小.
解答:解:因为f(x+1)是偶函数,所以f(x+1)=f(1-x),
所以f(
1
3
)=f(1-
2
3
)=f(1+
2
3
)=f(
5
3
),f(
2
3
)=f(1-
1
3
)=f(1+
1
3
)=f(
4
3
),
又当x≥1时,f(x)=3x-1,单调递增,
4
3
3
2
5
3
,所以f(
4
3
)<f(
3
2
)<f(
5
3
),
即f(
2
3
)<f(
3
2
)<f(
1
3
).
故选D.
点评:本题考查了函数的单调性及其应用,解决本题的关键是对f(
1
3
)、f(
2
3
)进行转化,然后利用函数f(x)在[1,+∞)上的单调性解决.
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1
x
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1
x
)
的大小关系;
(Ⅲ)是否存在x0>0,使得|g(x)-g(x0)|<
1
x
对任意x>0成立?若存在,求出x0的取值范围;若不存在请说明理由.

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