Question

把边长为a的等边三角形铁皮剪去三个相同的四边形（如图阴影部分）后，用剩余部分做成一个无盖的正三棱柱形容器（不计接缝），设容器的高为x，容积为V（x）．
（Ⅰ）写出函数V（x）的解析式，并求出函数的定义域；
（Ⅱ）求当x为多少时，容器的容积最大？并求出最大容积．

Answer 1

解：（Ⅰ）因为容器的高为x，则做成的正三棱柱形容器的底边长为----（1分）．
则．-------------------------（3分）
函数的定义域为．-------------------------（4分）
（Ⅱ）实际问题归结为求函数V（x）在区间上的最大值点．
先求V（x）的极值点．
在开区间内，--------------------（6分）
令V'（x）=0，即令，解得（舍去）．
因为在区间内，x₁可能是极值点．
当0＜x＜x₁时，V'（x）＞0；当时，V'（x）＜0．---------------------（8分）
因此x₁是极大值点，且在区间内，x₁是唯一的极值点，
所以是V（x）的最大值点，并且最大值
即当正三棱柱形容器高为时，容器的容积最大为．-------------------（10分）
分析：（Ⅰ）根据容器的高为x，求得做成的正三棱柱形容器的底边长，从而可得函数V（x）的解析式，函数的定义域；
（Ⅱ）实际问题归结为求函数V（x）在区间上的最大值点，先求V（x）的极值点，再确定极大值就是最大值即可．
点评：本题考查函数模型的构建，考查导数知识的运用，解题的关键是求出体积，利用导数知识求解．单峰函数，极值就是最值．