Question

已知实数a，b，c，d满足a+b+c+d=3，a²+2b²+4c²+4d²=5则a的最大值为

1. A.
   1
2. B.
   2
3. C.
   3
4. D.
   .4

Answer 1

B
分析：根据柯西不等式当n=3时的不等式：（++）（++）≥（x₁y₁+x₂y₂+x₃y₃）²，得到（2b²+4c²+4d²）（++）≥（b+c+d）²．从而得到关于a不等式：5-a²≥（3-a）²，解之得1≤a≤2，最后根据柯西不等式取等号的条件，找到当b=，c=d=时，a有最大值2．
解答：根据柯西不等式，得（2b²+4c²+4d²）（++）≥（b+c+d）²
当且仅当2b=4c=4d时，等号成立
∵a+b+c+d=3，a²+2b²+4c²+4d²=5
∴5-a²≥（3-a）²，解之得1≤a≤2，
当且仅当2b=4c=4d且b+c+d=1时，即当b=，c=d=时，a有最大值2．
故选B
点评：本题在a+b+c+d=3，a²+2b²+4c²+4d²=5的情况下，求实数a的最大值，着重考查了柯西不等式及其应用，属于中档题，解题时应该注意柯西不等式等号成立的条件．