Question

设圆C₁的方程为（x+2）²+（y-3m-2）²=4m²，直线l的方程为y=x+m+2．
（1）若m=1，求圆C₁上的点到直线l距离的最小值；
（2）求C₁关于l对称的圆C₂的方程；
（3）当m变化且m≠0时，求证：C₂的圆心在一条定直线上，并求C₂所表示的一系列圆的公切线方程．

Answer 1

（1）∵m=1，∴圆C₁的方程为（x+2）²+（y-5）²=4，直线l的方程为x-y+3=0，
所以圆心（-2，5）到直线l距离为：d=

|-2-5+3|

2

=2

2

＞2，
所以圆C₁上的点到直线l距离的最小值为2

2

-2；（4分）
（2）圆C₁的圆心为C₁（-2，3m+2），设C₁关于直线l对称点为C₂（a，b），
则

b-3m-2 a+2 =-1 3m+2+b 2 = a-2 2 +m+2

解得：

a=2m b=m

，
∴圆C₂的方程为（x-2m）²+（y-m）²=4m²；
（3）由

a=2m b=m

消去m得a-2b=0，
即圆C₂的圆心在定直线x-2y=0上．（9分）
①当公切线的斜率不存在时，易求公切线的方程为x=0；
②当公切线的斜率存在时，设直线y=kx+b与圆系中的所有圆都相切，
则

|k•2m-m+b|

1+k2

=2|m|，即（-4k-3）m²+2（2k-1）•b•m+b²=0，
∵直线y=kx+b与圆系中的所有圆都相切，所以上述方程对所有的m值都成立，
所以有：

-4k-3=0 2(2k-1)b=0 b2=0

解之得：

k=- 3 4 b=0

，
所以C₂所表示的一系列圆的公切线方程为：y=-

3

4

x，
故所求圆的公切线为x=0或y=-

3

4

x．（14分）