Question

设a∈R，函数f（x）=ax³-2x²-4ax，
（1）若x=2是函数y=f（x）的极值点，求a的值；
（2）在（1）的条件下，求函数f（x）在区间[-1，5]上的最值．
（3）是否存在实数a，使得函数f（x）在R上为单调函数，若是，求出a的取值范围，若不是，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由已知可得f′（2）=12a-8-4a=0．解出并验证即可．
（2）利用导数可得极值点，求出极值和区间端点值并比较，其中最大的是最大值，最小的是最小值．
（3）由f′（x）=3ax²-4x-4a，要使函数f（x）在R上单调递增，则f′（x）≥0在R上恒成立，可得△≤0，解出即可判断出．

解答：解：f′（x）=3ax²-4x-4a．
（1）∵x=2是函数y=f（x）的极值点，∴f′（2）=12a-8-4a=0．
解得a=1．
经验证a=1符合函数取得极值的条件；
（2）∵f′（x）=3x²-4x-4=（3x+2）（x-2），
令f′（x）=0，解得x=-

2

3

或2，
又f（-1）=1，f(-

2

3

)=

40

27

，f（2）=-8，f（5）=55．
因此函数f（x）的最大值是55，最小值是-8．
（3）∵f′（x）=3ax²-4x-4a，要使函数f（x）在R上单调递增，则f′（x）≥0在R上恒成立，
则a必须满足△=16+16a×3a≤0，因此不存在a满足条件．

点评：熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值与最值等是解题的关键．