Question

中心在原点，焦点在x轴上的椭圆，率心率，此椭圆与直线交于A、B两点，且OA⊥OB（其中O为坐标原点）．
（1）求椭圆方程；
（2）若M是椭圆上任意一点，F₁、F₂为椭圆的两个焦点，求∠F₁MF₂的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）设椭圆方程为.． ，，a²=2b²．椭圆方程化简为 ．椭圆与直线相交，解方程组：，由此能导出所求椭圆．
（2）在椭圆中，，|MF₁|+|MF₂|=2a，
=，其中：a≤|MF₂|≤a+c．由此能导出．
解答：解：（1）设椭圆方程为.．
∵，，a²=2b²．
∴椭圆方程化简为 ．
∵椭圆与直线相交，解方程组：，
由①代入②，代简得．
根据韦达定理，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵OA⊥OB，x₁x₂+y₁y₂=0，③
由②得，
把④代入③，得，
∴b²=1
∴所求椭圆为．
（2）在椭圆中，，
∵|MF₁|+|MF₂|=2a，
∴
=
=
=
=
其中：a≤|MF₂|≤a+c．
当|MF₂|=a时，cos∠F₁MF₂有最小值为0，
此时，∠F₁MF₂有最大值为，
当|MF₂|=a+c时，即M点与椭圆长轴左端点重合，∠F₁MF₂有最小值为0，故．
点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．