Question

20．$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{{2^x}，x≤1}\\{{{log}_9}^x，x＞1}\end{array}}\right.$，则$f（x）＞\frac{1}{2}$的解集是（-1，1]∪（3，+∞）．

Answer 1

分析 根据指数函数的图象和性质，分析偶函数f（x）的单调性，结合f（x-1）＜f（2），可得|x-1|＜2，解得答案．

解答 解：当x≤1时，f（x）=2^x为增函数，$f（x）＞\frac{1}{2}$，
可得：2^x$＞\frac{1}{2}$，可得1≥x＞-1；
故当x＞1时，f（x）=log₉x，
$f（x）＞\frac{1}{2}$，
可得：log₉x$＞\frac{1}{2}$，可得x＞3；
解得：x∈（3，+∞），
故答案为：（-1，1]∪（3，+∞）．

点评 本题考查的知识点是分段函数的应用，指数函数的单调性，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．