Question

若不等式a（2x²+y²）≥x²+2xy对任意非零实数x，y恒成立，则实数a的最小值为______．

Answer 1

由题意可得：不等式x²+2xy≤a（2x²+y²）对于任意非零实数x，y恒成立，
即不等式（2a-1）x²-2xy+ay²≥0对于任意非零实数x，y恒成立，
即不等式（2a-1）（

x

y

）²-2•

x

y

+a≥0对于任意非零实数x，y恒成立，
设t=

x

y

，所以（2a-1）t²-2t+a≥0对于一切t∈（-∞，0）∪（0，+∞）恒成立，
设f（t）=（2a-1）t²-2t+a，t∈（-∞，0）∪（0，+∞），
①a=

1

2

时，显然不符合题意，故舍去．
②当a≠

1

2

时，函数的对称轴为t₀=

1

2a-1

，
所以由题意可得：

2a-1＞0 △=4-4(2a-1)a≤0

，解得a≥1．
故答案为1．