Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，

m

=（cos（x-B），cosB），

n

=（cosx，-

1

2

），f（x）=

m

•

n

，f（

π

3

）=

1

4

．
（Ⅰ）求角B的值；
（Ⅱ）若b=

14

，

BA

•

BC

=6，求a和c的值．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：三角函数的求值,平面向量及应用

分析：（Ⅰ）利用两个向量的数量积公式化简f（x）的解析式为，再代入值即可
（Ⅱ）根据数量的运算得到ac=12，由余弦定理得到a²+c²=26，解方程组即可

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=

m

•

n

=（cos（x-B），cosB）•（cosx，-

1

2

）=cos（x-B）cosx-

1

2

cosB
=cos²xcosB+cosxsinxsinB-

1

2

cosB，
=

1

2

（cos2xcosB+sin2xsinB）
=

1

2

cos（2x-B），
∵f（

π

3

）=

1

4

．
∴cos（

2π

3

-B）=

1

2

，
又B为△ABC的内角，
∴

2π

3

-B=

π

3

，
即B=

π

3

；
（Ⅱ）由

BA

•

BC

=6，及B=

π

3

，得ac•cos

π

3

=6，即ac=12，①
在△ABC中，由余弦定理：b²=a²+c²-2acosB，
得14=a²+c²-2acos

π

3

，即a²+c²=26，②
由①②构成方程组，
解得

a=2 2 c=3 2

，或

a=3 2 c=2 2

点评：本题考查向量与三角函数知识的综合，考查三角函数的化简，考查余弦定理的运用，正确运用公式是关键．