Question

例4．设x，y∈R，求证：|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy≥0．

Answer 1

分析：证明充要条件关键是证明其互相推出性，要根据|x+y|=|x|+|y|证明出xy≥0，也要在xy≥0下证明出|x+y|=|x|+|y|．

解答：证明：充分性：如果xy=0，那么，①x=0，y≠0②x≠0，y=0③x=0，y=0于是|x+y|=|x|+|y|明显成立．
如果xy＞0即x＞0，y＞0或x＜0，y＜0
当x＞0，y＞0时，|x+y|=x+y=|x|+|y|，
当x＜0，y＜0时，|x+y|=-x-y=（-x）+（-y）=|x|+|y|，
总之，当xy≥0时，|x+y|=|x|+|y|．
必要性：由|x+y|=|x|+|y|及x，y∈R
得（x+y）²=（|x|+|y|）²即x²+2xy+y²=x²+2|xy|+y²
得|xy|=xy所以xy≥0故必要性成立，
综上，原命题成立．
故结论成立．

点评：用好绝对值的定义是解决本题的关键．注意分类讨论思想在解决该题中的运用．