Question

某电器公司生产A种型号的家庭电脑.1996年平均每台电脑生产成本为5 000元，并以纯利润20%标定出厂价.1997年开始，公司更新设备，加强管理，逐步推行股份制，从而使生产成本逐年降低.2000年平均每台A种型号的家庭电脑尽管出厂价仅是1996年出厂价的80%，但却实现了纯利润50%的高效率.求

（1）2000年每台电脑的生产成本；

（2）以1996年的生产成本为基数，用二分法求1996～2000年生产成本平均每年降低的百分数（精确到0.01）.

Answer 1

解：第（1）问是价格和利润的问题，销售总利润可以按每台来算,也可以按实现50%的利润来算，从而找出等量关系；第（2）问是增长率问题，要注意列出方程后，用二分法求解，但应用二分法时注意合理使用计算器.

（1）设2000年每台电脑的成本为p元，根据题意，得

p（1+50%）=5 000×（1+20%）×80%，解得p＝3 200（元）.?

故2000年每台电脑的生产成本为3200元.

（2）设1996～2000年间每年平均生产成本降低的百分率为x，根据题意，得

5000（1－x）⁴=3200（0＜x＜1）.

令f（x）=5 000（1－x）⁴－3 200，作出x、f（x）的对应值表，如下表:

x	0	0.15	0.3	0.45	0.6	0.75	0.9	1.05
F(x)	1800	-590	-2000	-2742	-3072	-3180	-3200	-3200

　　观察上表，可知f（0）·f（0.15）＜0，说明此函数在区间（0，0.15）内有零点x ₀.

取区间（0，0.15）的中点x ₁=0.075，用计算器可算得f（0.075）≈460.因为f（0.075）·?f（0.15）＜0，所以x ₀∈（0.075，0.15）.

再取（0.075，0.15）的中点x ₂=0.112 5，用计算器可算得f（0.112 5）≈－98.因为

f（0.075）·f（0.112 5）＜0，所以x ₀∈（0.075，0.112 5）.

同理，可得x ₀∈（0.009 375，0.112 5），x ₀∈（0.103 125，0.112 5），x ₀∈（0.103 125，0.107 812 5），x ₀∈（0.105 468 75，0.107 812 5）.

由于|0.107 812 5－0.105 468 75|＝0.002 343 75＜0.01，此时区间（0.105 468 75，0.107 812 5）的两个端点精确到0.01的近似值都是0.11，所以原方程精确到0.01的近似解为0.11.

1996～2000年生产成本平均每年降低的百分数为11%.