Question

5．有下列命题：①双曲线$\frac{x^2}{25}-\frac{y^2}{9}=1$与椭圆$\frac{x^2}{35}+{y^2}=1$有相同的焦点；
②“-$\frac{1}{2}$＜x＜0”是“2x²-5x-3＜0”必要不充分条件；
③若$\overrightarrow a$、$\overrightarrow b$共线，则$\overrightarrow a$、$\overrightarrow b$所在的直线平行；
④等轴双曲线的离心率是$\sqrt{2}$；
⑤?x∈R，x²-3x+3≠0．
其中是真命题的有：①④⑤．

Answer 1

分析 ①求出双曲线和椭圆的焦点进行判断．
②根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
③根据向量关系与直线的位置关系进行判断．
④根据等轴双曲线的定义进行判断．
⑤根据一元二次方程的根与判别式△的关系进行求解．

解答 解：①双曲线$\frac{x^2}{25}-\frac{y^2}{9}=1$中a²=25，b²=9，则c²=25+9=34，则c=$\sqrt{34}$，对应的焦点坐标为（$\sqrt{34}$，0），（-$\sqrt{34}$，0），
椭圆$\frac{x^2}{35}+{y^2}=1$中a²=35，b²=1，则c²=35-1=34则c=$\sqrt{34}$，对应的焦点坐标为（$\sqrt{34}$，0），（-$\sqrt{34}$，0），
双曲线和椭圆的焦点相同；故①正确，
②由2x²-5x-3＜0得-$\frac{1}{2}$＜x＜3，
则“-$\frac{1}{2}$＜x＜0”是“2x²-5x-3＜0”充分不必要条件；故②错误，
③若$\overrightarrow a$、$\overrightarrow b$共线，则$\overrightarrow a$、$\overrightarrow b$所在的直线平行或重合，故③错误；
④等轴双曲线的离心率是$\sqrt{2}$正确，故④正确；
⑤∵判别式△=9-4×3=9-12=-3＜0，
∴?x∈R，x²-3x+3≠0成立，故⑤正确，
故正确的命题是①④⑤，
故答案为：①④⑤

点评 本题主要考查的真假判断，涉及圆锥曲线的定义和性质以及充分条件和必要条件的判断，涉及的知识点较多．