Question

1．记函数f（x）=ax²+bx+c（a，b，c均为常数，且a≠0）．
（1）若a=1，f（b）=f（c）（b≠c），求f（2）的值；
（2）若b=1，c=-a时，函数y=f（x）在区间[1，2]上的最大值为g（a），求g（a）．

Answer 1

分析 （1）将a=1代入，结合f（b）=f（c）（b≠c），可得2b+c=0，进而得到答案；
（2）将b=1，c=-a代入，分析函数的图象和性质，进行分类讨论不同情况下，函数y=f（x）在区间[1，2]上的最大值，综合讨论结果，可得答案．

解答 解：（1）当a=1时，f（x）=x²+bx+c，
由f（b）=f（c），可得b²+b²+c=c²+bc+c，
即2b²-bc-c²=0，（b-c）（2b+c）=0，解得b=c或2b+c=0，（2分）
∵b≠c，
∴2b+c=0，（4分）
所以f（2）=4+2b+c=4．（6分）
（2）当b=1，c=-a时，$f（x）=a{x^2}+x-a=a{（{x+\frac{1}{2a}}）^2}-a-\frac{1}{4a}$，x∈[1，2]，（7分）
①当a＞0时，$x=-\frac{1}{2a}＜1$时，f（x）在区间[1，2]上单调递增，
所以f_max（x）=f（2）=3a+2；   （9分）
②当a＜0时，
Ⅰ．若$-\frac{1}{2a}≥2$，即$-\frac{1}{4}≤a＜0$时，f（x）在区间[1，2]上单调递增，
所以f_max（x）=f（2）=3a+2；         （11分）
Ⅱ．若$-\frac{1}{2a}≤1$，即$a≤-\frac{1}{2}$时，f（x）在区间[1，2]上单调递减，
所以f_max（x）=f（1）=1；      （13分）
Ⅲ．若$1＜-\frac{1}{2a}＜2$，即$-\frac{1}{2}＜a＜-\frac{1}{4}$时，f（x）在区间$[{1，-\frac{1}{2a}}]$上单调递增，$[{-\frac{1}{2a}，2}]$上单调递减，
所以${f_{max}}（x）=f（{-\frac{1}{2a}}）=-a-\frac{1}{4a}$．（15分）
综上可得：$g（a）=\left\{{\begin{array}{l}{3a+2，a≥-\frac{1}{4}且a≠0}\\{-a-\frac{1}{4a}，-\frac{1}{2}＜a＜-\frac{1}{4}}\\{1，a≤-\frac{1}{2}}\end{array}}\right.$．（16分）

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解答的关键．