Question

（08年辽宁卷理）如图,在棱长为1的正方体中,,截面,截面.

⑴证明:平面和平面互相垂直;

⑵证明:截面和截面面积之和是

定值,并求出这个值;

⑶若与平面所成的角为,求

与平面所成角的正弦值.

Answer 1

说明：本小题主要考查空间中的线面关系，面面关系，解三角形等基础知识，考查空间想象能力与逻辑思维能力。满分12分．

解法一：

（Ⅰ）证明：在正方体中，，，又由已知可得

，，，

所以，，

所以平面．

所以平面和平面互相垂直．??????????????????? 4分

（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知

，又截面PQEF和截面PQGH都是矩形，且PQ=1，所以截面PQEF和截面PQGH面积之和是

，是定值．??????????????????????????????????????????????????????? 8分

（III）解：连结BC′交EQ于点M．因为，，

所以平面和平面PQGH互相平行，因此与平面PQGH所成角与与平面所成角相等．

与（Ⅰ）同理可证EQ⊥平面PQGH，可知EM⊥平面，因此EM与的比值就是所求的正弦值．

设交PF于点N，连结EN，由知

．

因为⊥平面PQEF，又已知与平面PQEF成角，

所以，即，

解得，可知E为BC中点．

所以EM=，又，

故与平面PQCH所成角的正弦值为．?????????????????????????????????????? 12分

解法二：

以D为原点，射线DA，DC，DD′分别为x，y，z轴的正半轴建立如图的空间直角坐标系D－xyz由已知得，故，，，，

，，，，，．

（Ⅰ）证明：在所建立的坐标系中，可得

，

，

．

因为，所以是平面PQEF的法向量．

因为，所以是平面PQGH的法向量．

因为，所以，

所以平面PQEF和平面PQGH互相垂直．??????????????????????????????????????????????????????? 4分

（Ⅱ）证明：因为，所以，又，所以PQEF为矩形，同理PQGH为矩形．

在所建立的坐标系中可求得，，

所以，又，

所以截面PQEF和截面PQGH面积之和为，是定值．???????????????????????????????????? 8分

（Ⅲ）解：由已知得与成角，又可得

   ，

即，解得．

所以，又，所以与平面PQGH所成角的正弦值为

．?????????????????????????????????????????????????????????? 12分