Question

点Q在x轴上，若存在过Q的直线交函数y=2^x的图象于A，B两点，满足

QA

=

AB

，则称点Q为“Ω点”，那么下列结论中正确的是（　　）

A．x轴上仅有有限个点是“Ω点”

B．x轴上所有的点都是“Ω点”

C．x轴上所有的点都不是“Ω点”

D．x轴上有无穷多个点（但不是所有的点）是“Ω点”

Answer 1

分析：设Q（a，0），A(x1，2x1)，B(x2，2x2)，由

QA

=

AB

可得x₂=2x₁-a，2x2=2×2x1，得x₁=a+1，x₂=a+2，进而得到对于x轴上任意Q（a，0）点，总有A（a+1，2^a+1），B（a+2，2^a+2）满足题设要求．

解答：解：设Q（a，0），A(x1，2x1)，B(x2，2x2)，
所以

QA

=(x1-a，2x1)，

AB

= (x2-x1，2x2-2x1)．
因为

QA

=

AB

，
所以x₂=2x₁-a，2x2=2×2x1，得x₁=a+1，x₂=a+2．
即对于x轴上任意Q（a，0）点，总有A（a+1，2^a+1），B（a+2，2^a+2）满足题设要求．
故选B．

点评：解决此类问题的关键是熟练掌握向量的有关运算与指数函数的性质，考查学生的理解并且运用新知识的能力，此题属于中档题，属于新定义题时高考命题的热点之一．