Question

如图,在棱长为1的正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中,点E是棱BC的中点,点F是棱CD上的动点.

(1)试确定点F的位置,使得D₁E⊥平面AB₁F;

(2)当D₁E⊥平面AB₁F时,求二面角C₁—EF—A的大小.(结果用反三角函数值表示)

Answer 1

解：以A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系.

(1)设DF=x,则A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),A₁(0,0,1),B₁(1,0,1),D₁(0,1,1),E(1,,0),F(x,1,0).

所以=(1,-,-1),=(1,0,1),=(x,1,0).

所以·=1-1=0，即D₁E⊥AB₁.

于是D₁E⊥平面AB₁F?D₁E⊥AF·=0x-=0,即x=.

故当点F是CD的中点时，D₁E⊥平面AB₁F.

（2）当D₁E⊥平面AB₁F时，F是CD的中点.

又E是BC的中点，连结EF，则EF∥BD.

连结AC，设AC与EF交于点H，则AH⊥EF.

连结C₁H，则CH是C₁H在底面ABCD内的射影.

所以C₁H⊥EF,即∠AHC₁是二面角C₁—EF—A的平面角.

因为C₁(1,1,1),H(,,0),

所以=(,,1),=(-,-,0).

所以cos∠AHC₁==,

即∠AHC₁=arccos(-)=π-arccos.

故二面角C₁—EF—A的大小为π-arccos.

点拨：用向量法求二面角的大小时，应结合具体图形来判断求出的是二面角的平面角，还是它的补角.