Question

（2012•黔东南州一模）已知函数f(x)=

x

lnx

+

alnx

x

(x＞1)的图象经过(e2，

e2

2

+

2

e2

)（其中e为自然对数的底数，e≈2.71）．
（Ⅰ）求实数a；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间；
（Ⅲ）证明：对于任意的n∈N*，都有(e+

1

e

)(

e2

2

+

2

e2

)×…×(

en

n

+

n

en

)≥(e+

1

e

)n成立．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用函数y=f（x）的图象过点(e2，

e2

2

+

2

e2

)，建立方程，即可求得实数a；
（Ⅱ）求导数，求得f′（x）=0时，x=e，从而由导数的正负，可得f（x）的单调区间；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，f（x）在区间（1，+∞）上的最小值为f(e)=e+

1

e

，从而可得当x＞1时，f(x)≥e+

1

e

恒成立，当n∈N^*时，令x=eⁿ≥e＞1，则有f(en)≥e+

1

e

，由此可证结论．

解答：（Ⅰ）解：由y=f（x）的图象过点(e2，

e2

2

+

2

e2

)得

e2

2

+

2

e2

=

e2

lne2

+

alne2

e2

，所以a=1．         …（2分）
（Ⅱ）解：求导数可得：f′(x)=

lnx-1

(lnx)2

+

1-lnx

x2

=

(lnx-1)(x+lnx)(x-lnx)

x2(lnx)2

…（4分）
由x＞1知

x+lnx

x2(lnx)2

＞0，
令g（x）=x-lnx，则g′(x)=

x-1

x

＞0，故g（x）在（1，+∞）上为增函数，当x＞1时，g（x）=x-lnx＞g（1）＞0
令f′（x）=0得x=e，令f′（x）＞0得，x＞e，令f′（x）＜0得1＜x＜e
故f（x）的增区间为（e，+∞），减区间为（1，e）．                             …（7分）
（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知，f（x）在区间（1，+∞）上的最小值为f(e)=e+

1

e

…（8分）
即当x＞1时，f(x)≥e+

1

e

恒成立
当n∈N^*时，令x=eⁿ≥e＞1，则有f(en)≥e+

1

e

，即

en

n

+

n

en

≥e+

1

e

＞0…（10分）
故(e+

1

e

)(

e2

2

+

2

e2

)×…×(

en

n

+

n

en

)≥(e+

1

e

)n成立．                       …（12分）

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查不等式的证明，求得函数的单调性，确定最值是关键．