Question

（2013•淄博二模）袋中有8个大小相同的小球，其中1个黑球，3个白球，4个红球．
（I）若从袋中一次摸出2个小球，求恰为异色球的概率；
（II）若从袋中一次摸出3个小球，且3个球中，黑球与白球的个数都没有超过红球的个数，记此时红球的个数为ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ．

Answer 1

分析：（I）从8个球中摸出2个小球的种数为

C

2 8

=28．其中 一次摸出2个小球，恰为异色球包括一黑一白，一黑一红，一白一红三种类型，为

C

1 1

C

1 7

+

C

1 3

C

1 4

，根据古典概型的概率计算公式即可得出．
（II）符合条件的摸法包括以下三种：一种是有1个红球，1个黑球，1个白球，共有

C

1 1

C

1 4

C

1 3

种方法；一种是有2个红球，1个其它颜色球，共有

C

2 4

C

1 4

种方法；一种是所摸得的3小球均为红球，共有

C

3 4

=4种摸法；故符合条件的不同摸法共有40种．利用古典概型的概率计算公式、分布列和数学期望的计算公式即可得出．

解答：解：（Ⅰ）摸出的2个小球为异色球的种数为

C

1 1

C

1 7

+

C

1 3

C

1 4

=19．
从8个球中摸出2个小球的种数为

C

2 8

=28．
故所求概率为P=

19

28

．
（Ⅱ）符合条件的摸法包括以下三种：
一种是有1个红球，1个黑球，1个白球，共有

C

1 1

C

1 4

C

1 3

=12种．
一种是有2个红球，1个其它颜色球，共有

C

2 4

C

1 4

=24种，
一种是所摸得的3小球均为红球，共有

C

3 4

=4种不同摸法，
故符合条件的不同摸法共有40种．
P（ξ=1）=

12

40

=

3

10

，P（ξ=2）=

24

40

=

3

5

，P（ξ=3）=

4

40

=

1

10

．
由题意知，随机变量ξ的取值为1，2，3．其分布列为：

ξ	1	2	3
P	3 10	3 5	1 10

Eξ=1×

3

10

+2×

3

5

+3×

1

10

=

9

5

．

点评：正确分类和掌握古典概型的概率计算公式、随机变量的分布列及其数学期望是解题的关键．