Question

求函数y=

sin2x

1-sinx-cosx

+sin2x的值域．

Answer 1

分析：由于sin2x=2sinxcosx，设sinx+cosx=t，则sin2x=2sinxcosx=t²-1，这样一来，原函数就转化为关于t的二次函数了，
接下来，求关于t的二次函数的值域．

解答：解：设sinx+cosx=t，则t∈[-

2

， 1)∪ (1，

2

]
∴sin2x=2sinxcosx=t²-1，
∴y=

sin2x

1-sinx-cosx

+sin2x=

t2-1

1-t

+t2-1=t2-t-2
∵t∈[-

2

， 1)∪ (1，

2

]
∴y∈[-2.25，-2)∪(2，

2

]
∴值域：[-2.25，-2)∪(2，

2

]．

点评：有关sinx+cosx与sinxcosx的三角函数式的值域问题，通常采用换元法，设sinx+cosx=t，则sin2x=2sinxcosx=t²-1．
转化成关于新的变量t的函数值域问题来解决，特别要注意新变量t的取值范围．