【题目】在直角坐标系xOy中,曲线C:与直线l:交于M,N两点.
当时,求的面积的取值范围;
轴上是否存在点P,使得当k变动时,总有?若存在,求以线段OP为直径的圆的方程;若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2)
【解析】
(1)联立直线的方程和抛物线的方程,写出韦达定理,利用弦长公式求得,用点到直线的距离公式求得到直线的距离,由此可求得三角形面积的表达式.再利用的取值范围求得面积的取值范围.(2)设出点的坐标,写出直线的斜率,然后相加,利用(1)的韦达定理条件化简,并令斜率和为零,由此求得点的坐标,进而求得以为直径的圆的方程.
(1)将代入,得,
设,,则,,
从而.
因为到的距离为,
所以的面积.
因为,所以.
(2)存在符合题意的点,证明如下:
设为符合题意的点,直线,的斜率分别为,.
从而
.
当时,有,则直线的倾斜角与直线的倾斜角互补,
故,所以点符合题意.
故以线段为直径的圆的方程为.
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【题目】已知函数的图象与直线y=m分别交于AB两点,则( )
A.f(x)图像上任一点与曲线g(x)上任一点连线线段的最小值为2+ln2
B.m使得曲线g(x)在B处的切线平行于曲线f(x)在A处的切线
C.函数f(x)-g(x)+m不存在零点
D.m使得曲线g(x)在点B处的切线也是曲线f(x)的切线
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【题目】2018年9月24日,阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主、英国著名数学家阿蒂亚爵士宣布自己证明了黎曼猜想,这一事件引起了数学界的震动.在1859年,德国数学家黎曼向科学院提交了题目为《论小于某值的素数个数》的论文并提出了一个命题,也就是著名的黎曼猜想.在此之前,著名数学家欧拉也曾研究过这个问题,并得到小于数字的素数个数大约可以表示为的结论.若根据欧拉得出的结论,估计10000以内的素数的个数为(素数即质数,,计算结果取整数)
A. 1089 B. 1086 C. 434 D. 145
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【题目】已知斜率为1的直线与抛物线交于两点,中点的横坐标为2.
(1)求抛物线的方程;
(2)设直线交轴于点,交抛物线于点,关于点的对称点为,连接并延长交于点.除以外,直线与是否有其它公共点?请说明理由.
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【题目】如图,在四棱锥VABCD中,底面ABCD是矩形,VD⊥平面ABCD,过AD的平面分别与VB,VC交于点M,N.
(1) 求证:BC⊥平面VCD;
(2) 求证:AD∥MN.
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【题目】某大型企业人力资源部为了研究企业员工工作积极性和对待企业改革态度的关系,随机抽取了名员工进行问卷调查,其中的员工工作积极.经汇总调查,这名员工是否支持企业改革的调查得分(百分制)如茎叶图(图)所示.调查评价标准指出:调查得分不低于分者为积极支持企业改革,调查得分低于70分者不太赞成企业改革.
(1)根据以上资料完成下面的列联表,结合数据能否有的把握认为员工的工作积极性与“是否积极支持企业改革”是有关的,并回答人力资源部的研究项目.
积极支持企业改革 | 不太赞成企业改革 | 总计 | |
工作积极 | |||
工作一般 | |||
总计 |
(2)现将名员工的调查得分分为如下组:,,,,其频率分布直方图如图所示,这名员工的调查数据得分的平均值可由茎叶图得到,记为,由频率分布直方图得到的估计值记为(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表),与的误差值在以内,可以由代替,能否由代替?(提示:名员工的调查数据得分的和)
(3)该企业人力资源部从分以上的员工中任选名员工进行座谈,则所选员工的分数超过分的人数的数学期望是多少?
附:.
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【题目】已知三棱锥P—ABC中,PC底面ABC,AB=BC,D、F分别为AC、PC的中点,DEAP于E。(1)求证:AP平面BDE;(2)求证:平面BDE平面BDF;(3)若AE:EP=1:2,求截面BEF分三棱锥P—ABC所成上、下两部分的体积比。
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【题目】《九章算术》卷第六《均输》中,提到如下问题:“今有竹九节,下三节容量四升,上四节容量三升.问中间二节欲均容,各多少?”其大致意思是说,若九节竹每节的容量依次成等差数列,下三节容量四升,上四节容量三升,则中间两节的容量各是( )
A.升、升B.升、升
C.升、升D.升、升
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【题目】已知四个函数,其中,的图像如图所示.
(1)请在坐标系中画出,的图像,并根据这四个函数的图像总结出指数函数具有哪些性质?
(2)举出在实际情境中能够抽象出指数函数的一个例子并说明理由.
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