Question

设曲线在点处的切线斜率为,且.对一切实数,不等式恒成立(≠0).

(1) 求的值；

(2) 求函数的表达式；

(3) 求证:＞．

 

Answer 1

【答案】

(1)  (2)  (3) 要证原不等式，即证因为

所以

=所以

【解析】

试题分析：（1）由，所以     2分

（2），由，得    3分

                4分

又恒成立，则由恒成立得

，                6分

同理由恒成立也可得:       7分

综上，，所以       8分

（3）

要证原不等式，即证

因为

所以

=

所以                12分

本小问也可用数学归纳法求证。证明如下：

由

当时，左边=1，右边=，左边>右边，所以，不等式成立

假设当时，不等式成立，即

当时，

左边=

由

所以

即当时，不等式也成立。综上得

考点：函数导数，求函数解析式及不等式证明

点评：函数求解析式采用的是待定系数法，由已知条件找到的关系式，期间将不等式恒成立问题转化为二次函数性质的考察，第三问在证明不等式时用到了放缩法，这种方法对学生有一定的难度