Question

已知锐角三角形ABC中内角A、B、C的对边分别为a，b，c，a²+b²=6abcosC，且sin²C=2sinAsinB．
（1）求角C的值；
（2）设函数f(x)=sin(ωx-

π

6

)-cosω

x

(ω＞0)，且f（x）图象上相邻两最高点间的距离为π，求f（A）的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用正弦定理与余弦定理可求得cosC的值，即可求得C的值；
（2）化简函数，利用周期确定ω，进而可得函数的解析式，即可求f（A）的取值范围．

解答：解：（1）∵sin²C=2sinAsinB，∴由正弦定理有：c²=2ab，
由余弦定理有：a²+b²=c²+2abcosC=c²（1+cosC）①
又a²+b²=6abcosC=3c²cosC②
由①②得1+cosC=3cosC，∴cosC=

1

2

，
又0＜C＜π，∴C=

π

3

；
（2）f(x)=sin(ωx-

π

6

)-cosω

x

=

3

sin（ωx-

π

3

）
∵f（x）图象上相邻两最高点间的距离为π，
∴T=π
∴

2π

ω

=π
∴ω=2
∴f（x）=

3

sin（2x-

π

3

）
∴f（A）=

3

sin（2A-

π

3

）
∵

π

6

＜A＜

π

2

，∴0＜2A-

π

3

＜

2π

3

∴0＜sin（2A-

π

3

）≤1
∴0＜f（A）≤

3

．

点评：本题考查正弦定理与余弦定理，考查三角函数的图象与性质，考查学生的计算能力，属于中档题．