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    设奇函数f（x）对任意x∈R都有f(x)=f(x-1)+
    1
    2
    ．
    （1）求f(
    1
    2
    )    和f(
    k
    n
    )+f(
    n-k
    n
    )(k=0，1，2，…，n)    的值；
    （2）数列{an}满足：an=f（0）+f(
    1
    n
    )+f(
    2
    n
    )+…+f(
    n-1
    n
    )+f(1)    -f(
    1
    2
    )    ，数列{an}是等差数列吗？请给予证明．
    （1）∵f(x)=f(x-1)+
    1
    2
    ，且f（x）是奇函数
    ∴f(
    1
    2
    )=f(
    1
    2
    -1)+
    1
    2
    =f(-
    1
    2
    )+
    1
    2
    =-f(
    1
    2
    )+
    1
    2

    ∴2f(
    1
    2
    )=
    1
    2
    ，故f(
    1
    2
    )=
    1
    4
    （3分）
    因为f(x)=f(x-1)+
    1
    2
    =-f(1-x)+
    1
    2
    ，所以f(x)+f(1-x)=
    1
    2
    ．
    令x=
    k
    n
    ，得f(
    k
    n
    )+f(1-
    k
    n
    )=
    1
    2
    ，即f(
    k
    n
    )+f(
    n-k
    n
    )=
    1
    2
    ．（6分）
    （2）令sn=f(0)+f(
    1
    n
    )+…+f(
    n-1
    n
    )+f(1)
    又sn=f(1)+f(
    n-1
    n
    )+…+f(
    1
    n
    )+f(0)
    两式相加2sn=[f(0)+f(1)]+[f(
    1
    n
    )+f(
    n-1
    n
    )]+…+[f(1)+f(0)]=
    n+1
    2
    ．
    所以sn=
    n+1
    4
    ，（6分）
    故an=sn-f(
    1
    2
    )=
    n+1
    4
    -
    1
    4
    =
    n
    4
    ，n∈N*    （10分）
    又an+1-an=
    n+1
    4
    -
    n
    4
    =
    1
    4
    ．故数列{an}是等差数列．（12分）
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    2
    )    和f(
    k
    n
    )+f(
    n-k
    n
    )(k=0，1，2，…，n)    的值；
    （2）数列{an}满足：an=f（0）+f(
    1
    n
    )+f(
    2
    n
    )+…+f(
    n-1
    n
    )+f(1)    -f(
    1
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    )    ，数列{an}是等差数列吗？请给予证明．

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    （2012•广东模拟）设奇函数f（x）对任意x∈R都有f(x)=f(x-1)+
    1
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    1
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    )    和f(
    k
    n
    )+f(
    n-k
    n
    )(k=0，1，2，…，n)    的值；
    （2）数列{an}满足：an=f（0）+f(
    1
    n
    )+f(
    2
    n
    )+…+f(
    n-1
    n
    )+f(1)    -f(
    1
    2
    )    ，数列{an}是等差数列吗？请给予证明；
    （3）设m与k为两个给定的不同的正整数，{an}是满足（2）中条件的数列，
    证明：
    s
    n=1
    |
    		(m+1)nan+1
    -
    		(kn+n+k+1)an
    |＜(
    s+1
    2
    )    2    |
    		m
    -
    		k
    |    （s=1，2，…）．

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    科目：高中数学 来源：2011-2012学年广东省六校高三11月联考数学试卷（文科）（解析版） 题型：解答题

    设奇函数f（x）对任意x∈R都有．
    （1）求和的值；
    （2）数列{an}满足：an=f（0）+，数列{an}是等差数列吗？请给予证明；
    （3）设m与k为两个给定的不同的正整数，{an}是满足（2）中条件的数列，
    证明：（s=1，2，…）．

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    科目：高中数学 来源：2011-2012学年广东省广州市六校高三第二次联考数学试卷（文科）（广东省实验中学、华师附中、广州二中、广雅中学、执信中学、广州六中）（解析版） 题型：解答题

    设奇函数f（x）对任意x∈R都有．
    （1）求和的值；
    （2）数列{an}满足：an=f（0）+，数列{an}是等差数列吗？请给予证明；
    （3）设m与k为两个给定的不同的正整数，{an}是满足（2）中条件的数列，
    证明：（s=1，2，…）．

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