Question

当(x

x

-

1

x

)6的展开式的第5项的值等于

15

2

时，x=

 

，此时

lim

n→∞

(

1

x

+

1

x2

+…+

1

xn

)=

 

．

Answer 1

分析：第一问：利用Tr+1=c₆^r（x

x

）^6-r（-

1

x

）^r=c₆^r（-1）^rx

18-3r

2

，令r=4，代入从而得到关于x的方程，解得x．
第二问：由题知即求首项为a₁=

1

x

，公比q为

1

x

的等比数列前n项和的极限，由等比数列前n项和的公式s_n=

a1

1-q

（1-qⁿ）并将第一问的x值代入再求极限可得．

解答：解：第一问：由Tr+1=c₆^r（x

x

）^6-r（-

1

x

）^r=c₆^r（-1）^rx

18-3r

2

，
令r=4，即T₅=c₆⁴x^-1=

15

2

，
即15x^-1=

15

2

，
故解答为：x=2．
第二问：由x=2，
∴

lim

n→∞

（

1

x

+

1

x2

+…+

1

xn

）=

lim

n→∞

（

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

）=

lim

n→∞

1 2

1- 1 2

[1-（

1

2

）ⁿ]=1．
故解答为；1．

点评：（1）第一问考查二项展开式特定项的问题，主要利用二项展开式第r+1项即通项公式求解．本考点是高考中的常考知识，要重视．
（2）这一问主要考查等比数列前n项和的求法以及极限的运算等知识．需要注意：当公比0＜q＜1或者-1＜q＜0时，

lim

n→∞

qⁿ=0．