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精英家教网如图,已知椭圆C1的中心在原点O,长轴左、右端点M,N在x轴上.椭圆C2的短轴为MN,且C1,C2的离心率都为e.直线l⊥MN.l与C1交于两点,与C2交于两点,这四点按纵坐标从大到小依次为A、B、C、D.
(Ⅰ)e=
12
,求|BC|与|AD|的比值;
(Ⅱ)当e变化时,是否存在直线l,使得BO∥AN,并说明理由.
分析:(Ⅰ)先利用离心率相同,把两椭圆方程设出来,与直线l联立求出A、B的坐标,再利用椭圆图象的对称性求出|BC|与|AD|的长,即可求|BC|与|AD|的比值;
(Ⅱ)BD∥AN,即是BO的斜率kBO与AN的斜率kAN相等,利用斜率相等得到关于t和a以及e的等式,再利用|t|<a和0<e<1就可求出何时BD∥AN.
解答:解:(I)因为C1,C2的离心率相同,
故依题意可设C1
x2
a2
+
y2
b2
=1
C2
b2y2
a4
+
x2
a2
=1,(a>b>0)

设直线l:x=t(|t|<a),分别与C1,C2的方程联立,
求得A(t,
a
b
a2-t2
)
B(t,
b
a
a2-t2
)
(4分)
e=
1
2
b=
3
2
a
,分别用yA,yB表示的A,B的纵坐标,
可知|BC|:|AD|=
2|yB|
2|yA|
=
b2
a2
=
3
4
(6分)
(Ⅱ)t=0时的l不符合题意,t≠0时,
BO∥AN当且仅当BO的斜率kBO与AN的斜率kAN相等,
b
a
a2-t2
t
=
a
b
a2-t2
t-a

解t=-
ab2
a2-b2
=-
1-e2
e2
•a;
因为|t|<a,又0<e<1,所以-1<-
1-e2
e2
<1
,解得
2
2
<e<1

所以当0<e≤
2
2
时,不存在直线l,使得BO∥AN;
2
2
<e<1
时,存在直线l,使得BO∥AN.
点评:本题考查椭圆的有关知识.在第一问设方程时,充分利用离心率相同,把两椭圆方程用同两个变量设出来,减少了变量的引入,把问题变的简单化.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源:2010-2011学年辽宁省丹东市宽甸二中高二下学期期末考试数学(文) 题型:解答题

(本小题满分12分)

如图,已知椭圆C1的中心在原点O,长轴左、右端点MNx轴上,椭圆C2的短轴为MN,且C1C2的离心率都为e,直线l⊥MN,lC1交于两点,与C2交于两点,这四点按纵坐标从大到小依次为ABCD
(I)设,求的比值;
(II)当e变化时,是否存在直线l,使得BOAN,并说明理由.

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科目:高中数学 来源:2011年辽宁省普通高等学校招生统一考试文科数学 题型:解答题


(本小题满分12分)
如图,已知椭圆C1的中心在圆点O,长轴左、右端点M、N在x轴上,椭圆C1的短轴为MN,且C1,C2的离心率都为e,直线l⊥MN,l与C1于两点,与C1交于两点,这四点按纵坐标从大到小依次为A、B、C、D.

(I)设e=,求|BC|与|AD|的比值;
(II)当e变化时,是否存在直线l,使得BO//AN,并说明理由.

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科目:高中数学 来源:2011年辽宁省招生统一考试文科数学 题型:解答题

 

 (本小题满分12分)

如图,已知椭圆C1的中心在圆点O,长轴左、右端点M、N在x轴上,椭圆C1的短轴为MN,且C1,C2的离心率都为e,直线l⊥MN,l与C1交于两点,与C1交于两点,这四点按纵坐标从大到小依次为A、B、C、D.

(I)设e=,求|BC|与|AD|的比值;

(II)当e变化时,是否存在直线l,使得BO//AN,并说明理由.

 

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科目:高中数学 来源:2012届辽宁省丹东市高二下学期期末考试数学(文) 题型:解答题

(本小题满分12分)

如图,已知椭圆C1的中心在原点O,长轴左、右端点MNx轴上,椭圆C2的短轴为MN,且C1C2的离心率都为e,直线l⊥MN,lC1交于两点,与C2交于两点,这四点按纵坐标从大到小依次为ABCD

(I)设,求的比值;

(II)当e变化时,是否存在直线l,使得BOAN,并说明理由.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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