Question

如图，A为双曲线M：x²-y²=1的右顶点，平面上的动点P到点A的距离与到直线l：x=-1的距离相等．
（Ⅰ） 求动点P的轨迹N的方程；
（Ⅱ）已知双曲线M的两条渐近线分别与轨迹N交于点B，C（异于原点）．试问双曲线M上是否存在一点D，满足

DB

•

DC

=

DA

2？若存在，求出点D坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）方法一：设点P（x，y），点P到直线l的距离为d，利用|PA|=d，建立方程，化简可得动点P的轨迹N的方程；
方法二：由抛物线定义知：动点P的轨迹N是以A（1，0）为焦点，直线l：x=-1为准线的抛物线，故可求动点P的轨迹N的方程；                     
（2）双曲线M的渐近线方程与抛物线方程联立，可得点B、C的坐标，设点D（x，y），则|x|≥1，利用

DB

•

DC

=

DA

2，即可得到结论．

解答：解：（1）方法一：依题意，A（1，0）
设点P（x，y），点P到直线l的距离为d，则|PA|=d
即

(x-1)2+y2

=|x+1|，化简得：y²=4x
方法二：依题意，A（1，0）
由抛物线定义知：动点P的轨迹N是以A（1，0）为焦点，直线l：x=-1为准线的抛物线，其方程为y²=4x．                            
（2）双曲线M的渐近线方程为y=±x
联立抛物线方程y²=4x，可得点B（4，4）、C（4，-4）
设点D（x，y），则|x|≥1
若

DB

•

DC

=

DA

2，则（x-4）²+y²-16=（x-1）²+y²
∴x=-

1

6

∵|x|≥1，∴不存在点D满足题意．

点评：本题主要考查抛物线的定义、双曲线的性质、向量数量积等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想