Question

证明：1+

1

22

+

1

32

+

1

42

+…+

1

n2

＜

4n

2n+1

(n∈N*)．

Answer 1

分析：利用数学归纳法的证题步骤证明即可．先证当n=1时，不等式成立；再假设当n=k时不等式成立，可以分析法去证明当n=k+1时不等式也成立即可．

解答：证明：（ⅰ）当n=1时，T₁=

1

12

=1，

4×1

2×1+1

=

4

3

，1＜

4

3

，不等式成立；
（ⅱ）假设当n=k时，T_k＜

4k

2k+1

，
则当n=k+1时，T_k+1=T_k+

1

(k+1)2

＜

4k

2k+1

+

1

(k+1)2

，
要证：T_k+1＜

4(k+1)

2(k+1)+1

，
只需证：

4k

2k+1

+

1

(k+1)2

＜

4(k+1)

2(k+1)+1

，
由于

4(k+1)

2(k+1)+1

-

4k

2k+1

=

4

(2k+3)(2k+1)

=

4

(2k+2)2-1

＜

1

(k+1)2

，
所以：

4k

2k+1

+

1

(k+1)2

＜

4(k+1)

2(k+1)+1

，
于是对于一切的自然数n∈N^*，都有T_n＜

4n

2n+1

．

点评：本题考查不等式的证明，突出考查数学归纳法，考查分析法与综合法的应用，考查推理分析与证明的能力，属于中档题．