Question

如图，在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M，N分别是A₁A，B₁B的中点．
（1）求直线D₁N与平面A₁ABB₁所成角的大小；
（2）求直线CM与D₁N所成角的正弦值；
（3）（理科做）求点N到平面D₁MB的距离．

Answer 1

分析：（1）以DA为x轴，以DC为y轴，以DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，求出向量

D1N

和平面A₁ABB₁的一个法向量，利用向量法能求出直线D₁N与平面A₁ABB₁所成角的大小．
（2）分别求出向量

CM

，

D1N

，利用向量法先求出直线CM与D₁N所成角的余弦值，再由三角函数的性质求出其正弦值．
（3）分别求出向量

D1N

和平面D₁MB的法向量，然后利用向量法能求出点N到平面D₁MB的距离．

解答：解：（1）以DA为x轴，以DC为y轴，以DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，
∵正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，M，N分别是A₁A，B₁B的中点，
∴D₁（0，0，2），N（2，2，1），A（2，0，0），D（0，0，0）
∴

D1N

=（2，2，-1），
设直线D₁N与平面A₁ABB₁所成角为θ，
∵平面A₁ABB₁的一个法向量

DA

=（2，0，0），
∴sinθ=|cos＜

D1N

，

DA

＞|=|

4

4+4+1 × 4

|=

2

3

，
∴直线D₁N与平面A₁ABB₁所成角的大小为arcsin

2

3

．
（2）∵C（0，2，0），M（2，0，1），
∴

CM

=（2，-2，1），
设直线CM与D₁N所成角的为α，
∵

D1N

=（2，2，-1），
∴cosθ=|cos＜

CM

，

D1N

＞|=|

4-4-1

4+4+1 × 4+4+1

|=

1

9

，
∴sinθ=

1-( 1 9 )2

=

4 5

9

．
直线CM与D₁N所成角的正弦值为

4 5

9

．
（3）∵M（2，0，1），B（2，2，0），D₁（0，0，2），N（2，2，1），
∴

D1M

=(2，0，-1)，

D1B

=（2，2，-2），

D1N

=（2，2，-1），
设平面D₁MB的法向量

n

=(x，y，z)，
则

D1M

•

n

=0，

D1B

•

n

=0，
∴

2x-z=0 2x+2y-2z=0

，∴

n

=(1，1，2)，
∴点N到平面D₁MB的距离d=

| D1N • n |

| n |

=

|2+2-2|

1+1+4

=

6

3

．

点评：本题考查直线与平面所成角的求法，考查点到直线的距离的求法，解题时要注意空间思维能力的培养，注意向量法的合理运用．