Question

如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，点D在棱BC上，AD⊥C₁D，
（1）设点M是棱BB₁的中点，求证：平面AMC₁⊥平面AA₁C₁C；
（2）设点E是B₁C₁的中点，过A₁E作平面α交平面ADC₁于l，求证：A₁E∥l．

Answer 1

分析：（1）正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，M是棱BB₁的中点，能够推导出OM⊥平面AA₁C₁C，由此能够证明平面AMC₁⊥平面AA₁C₁C．
（2）在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，M是棱BB₁的中点，E是B₁C₁的中点，故AD∥A₁E，所以A₁E∥平面ADC₁，由此能够证明A₁E∥l．

解答：解：（1）∵正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，M是棱BB₁的中点，
∴AB=A₁B₁=B₁C₁，BM=B₁M，∠ABM=∠C₁B₁M，
∴AM=C₁M．
∴△AMC₁是等腰三角形．
取AC₁的中点O，CC₁的中点M，连接MO，OP，MP，
则MO⊥AC₁，OP⊥CC₁，MP⊥CC₁，
∴CC₁⊥平面OPM，
∵OM?平面OPM，∴CC₁⊥OM．
∵CC₁∩AC₁=C₁，
∴OM⊥平面AA₁C₁C，
∵OM?平面AMC₁，∴平面AMC₁⊥平面AA₁C₁C．
（2）∵在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，M是棱BB₁的中点，E是B₁C₁的中点，
∴AD∥A₁E，
∵AD?平面ADC₁，A₁E?平面ADC₁，
∴A₁E∥平面ADC₁，
∵过A₁E作平面α交平面ADC₁于l，
∴A₁E∥l．

点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查直线与直线平行的证明．解题时要认真审题，仔细解答，合理运用辅助线，化空间问题为平面问题．