Question

（2010•成都模拟）已知二次函数f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R），当x∈（-∞，-2）∪（0，+∞）时，f（x）＞0，当x∈（-2，0）时，f（x）＜0，且对任意x∈R，不等式f（x）≥（a-1）x-1恒成立．
（I）求函数f（x）的解析式；
（II）设函数F（x）=tf（x）-x-3，其中t≥0，求F（x）在x∈[-

3

2

，2]时的最大值H（t）；
（III）在（II）的条件下，若关于的函数y=log₂[p-H（t）]的图象与直线y=0无公共点，求实数的取值范围．

Answer 1

分析：（I）由已知得a＞0，且-2和0为方程ax²+bx+c=0的两根，故可设f（x）=ax（x+2），利用f（x）≥（a-1）x-1恒成立，求出a的值．
（II）由题意，分情况讨论F（x）在x∈[-

3

2

，2]时的最大值H（t）．当t=0时，F（x）是单调函数，可求最大值；当t＞0时，利用二次函数求最值的方法，分类讨论；
（III）由题意，只需要[p-H（t）]＞0，且p-H（t）=1无解，即[p-H（t）]_max＞0，且1不在[p-H（t）]值域内，故问题得解．

解答：解：（I）由已知得a＞0，且-2和0为方程ax²+bx+c=0的两根，∴可设f（x）=ax（x+2），又由f（x）≥（a-1）x-1恒成立得（a-1）²≤0，∴a=1，∴f（x）=x²+2x
（II）F（x）=tf（x）-x-3=tx²+（2t-1）x-3（t≥0），以下分情况讨论F（x）在x∈[-

3

2

，2]时的最大值H（t）
（1）当t=0时，F（x）=-x-3在x∈[-

3

2

，2]时单调递减，F(x)max=H(t)=-

3

2

；
（2）当t＞0时，F（x）图象的对称轴方程为x0=-1+

1

2t

．∵

- 3 2 +2

2

=

1

4

，∴只需比较x0与

1

4

的大小
①当x0≤

1

4

，即t≥

2

5

时，F（x）_max=8t-5；
②当x0＞

1

4

，即0＜t＜

2

5

时，F(x)max=-

3

4

t-

3

2

，
综上可得H(t)=

- 3 4 t- 3 2 ，0≤t＜ 2 5 8t-5，t≥ 2 5

（III）由题意，只需要[p-H（t）]＞0，且p-H（t）=1无解，即[p-H（t）]_max＞0，且1不在[p-H（t）]值域内
由（II）可知H（t）的最小值为-

9

5

，即-H（t）的最大值为

9

5

，∴

p+ 9 5 ＞0 1＞p+ 9 5

，∴-

9

5

＜p＜-

4

5

点评：本题考查代入法求函数的解析式，考查了二次函数在定区间上的最值问题，考查恒成立问题的处理，属中档题．