Question

对于定义在[a，b]上的两个函数f（x）与g（x），如果对于任意x∈[a，b]，均有|f（x）-g（x）|≤1，则称f（x）与g（x）在[a，b]上是接近的．若函数y=x²-2x+2与函数y=2x+m在区间[1，3]上是接近的，则实数m的取值范围是（　　）

A．m≤-2

B．-2≤m≤0

C．-3≤m≤-1

D．-2≤m≤-1

Answer 1

分析：根据题中的新定义可知，若函数y=x²-2x+2与函数y=2x+m在区间[1，3]上是接近的，得两函数解析式之差的绝对值小于等于1，转化为不等式组，求出m的取值范围．

解答：解：根据函数y=x²-2x+2与函数y=2x+m在区间[1，3]上是接近的，
可得：|（x²-2x+2）-（2x+m）|≤1，
即

x2-4x+2-m≤1① x2-4x+2-m≥-1②

，
由①得m≥x²-4x+1，∴m≥x²-4x+1，在x∈[1，3]上的最大值-2，即m≥-2；
由②得m≤x²-4x+3，∴m≤x²-4x+3，在x∈[1，3]上的最小值-1，即m≤-1；
综上，实数m的取值范围是[-2，-1]
故选：D．

点评：本题考查了新定义下的不等式组恒成立的问题，解题时应灵活运用新定义化简求值，是易错题．