Question

12．已知函数f（log₂x）=log₂（x+1）．
（1）求f（x）．
（2）用定义证明f（x）在其定义域上为增函数．
（3）解不等式$f（x）＜-{log_{\frac{1}{2}}}（{4^x}-{2^x}+1）$．

Answer 1

分析 （1）利用换元法结合对数的运算法则进行求解即可．
（2）利用函数单调性的定义结合对数函数的性质进行证明．
（3）根据函数单调性的性质进行转化求解即可．

解答 解：（1）设log₂x=t，则x=2^t，
∴$f（t）={log_2}（{2^t}+1）$，
∴$f（x）={log_2}（{2^x}+1）$．…3
（2）设x₁，x₂是R上任意两个不相等的实数，且x₁＜x₂，
则△x=x₂-x₁＞0，
∴$△y=f（{x_2}）-f（{x_1}）={log_2}（{2^{x_2}}+1）-{log_2}（{2^{x_1}}+1）={log_2}\frac{{{2^{x_2}}+1}}{{{2^{x_1}}+1}}$，
∵$（{2^{x_2}}+1）-（{2^{x_1}}+1）={2^{x_2}}-{2^{x_1}}$，
∴当x₂＞x₁时，${2^{x_2}}＞{2^{x_1}}$，
∴$（{2^{x_2}}+1）-（{2^{x_1}}+1）＞0$
∵${2^{x_2}}+1＞0，{2^{x_1}}+1＞0$，
∴$\frac{{{2^{x_2}}+1}}{{{2^{x_1}}+1}}＞1$，
∴${log_2}\frac{{{2^{x_2}}+1}}{{{2^{x_1}}+1}}＞lo{g_2}1=0$
即△y＞0，
∴f（x）在R上为增函数．…8
（3）原不等式化为：${log_2}（{2^x}+1）＜{log_2}（{4^x}-{2^x}+1）$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2^x}+1＜{4^x}-{2^x}+1\\{2^x}+1＞0\end{array}\right.$，
∴2^x+1＜2^2x
即x+1＜2x解得：x＞1，
∴解集为（1，+∞）．…12

点评 本题主要考查函数解析式和函数单调性的判断和证明，利用对数函数的单调性和运算法则是解决本题的关键．