Question

6．已知函数f（x）=9^x-a•3^x+1+a²（x∈[0，1]，a∈R），记f（x）的最大值为g（a）．
（Ⅰ）求g（a）解析式；
（Ⅱ）若对于任意t∈[-2，2]，任意a∈R，不等式g（a）≥-m²+tm恒成立，求实数m的范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）令u=3^x∈[1，3]，得到f（x）=h（u）=u²-3au+a²，分类讨论即可求出，
（Ⅱ）先求出g（a）_min=g（$\frac{3}{2}$）=-$\frac{5}{4}$，再根据题意可得-m²+tm≤-$\frac{5}{4}$，利用函数的单调性即可求出．

解答 解：（Ⅰ）令u=3^x∈[1，3]，则f（x）=h（u）=u²-3au+a²．
当$\frac{3a}{2}$≤2即a≤$\frac{4}{3}$时，g（a）=h（u）_min=h（3）=a²-9a+9；
当$\frac{3a}{2}$＞2即a＞$\frac{4}{3}$时，g（a）=h（u）_min=h（1）=a²-3a+1；
故g（a）=$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-9a+9，a≤\frac{4}{3}}\\{{a}^{2}-3a+1，a＞\frac{4}{3}}\end{array}\right.$
（Ⅱ）当a≤$\frac{4}{3}$时，g（a）=a²-9a+9，g（a）_min=g（$\frac{4}{3}$）=-$\frac{11}{9}$；
当a$＞\frac{4}{3}$时，g（a）=a²-3a+1，g（a）_min=g（$\frac{3}{2}$）=-$\frac{5}{4}$；
因此g（a）_min=g（$\frac{3}{2}$）=-$\frac{5}{4}$；
对于任意任意a∈R，不等式g（a）≥-m²+tm恒成立等价于-m²+tm≤-$\frac{5}{4}$．
令h（t）=mt-m²，由于h（t）是关于t的一次函数，故对于任意t∈[-2，2]都有h（t）≤-$\frac{5}{4}$等价于$\left\{\begin{array}{l}{h（-2）≤-\frac{5}{4}}\\{h（2）≤-\frac{5}{4}}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{4{m}^{2}+8m-5≥0}\\{4{m}^{2}-8m-5≥0}\end{array}\right.$，
解得m≤-$\frac{5}{2}$或m≥$\frac{5}{2}$．

点评 本题考查了二次函数的性质，考查函数的单调性、最值问题，是一道中档题