Question

  某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元（3≤a≤5）的管理费，预计当每件产品的售价为x元（9≤x≤11）时，一年的销售量为（12-x）²万件.

（1）求分公司一年的利润L（万元）与每件产品的售价x的函数关系式；

（2）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大，并求出L的最大值Q（a）.

Answer 1

（1）L=(x-3-a)(12-x)²,x∈［9,11］.（2）Q(a)=4（3-a）³

解析:

  （1）分公司一年的利润L（万元）与售价x的函数关系式为：L=(x-3-a)(12-x)²,x∈［9,11］.

(2)L′(x)=(12-x)²-2(x-3-a)(12-x)

=(12-x)(18+2a-3x).

令L′=0得x=6+a或x=12（不合题意，舍去）.

∵3≤a≤5,∴8≤6+a≤.

在x=6+a两侧L′的值由正变负.

所以①当8≤6+a＜9即3≤a＜时，

L_max=L(9)=(9-3-a)(12-9)²=9(6-a).

②当9≤6+a≤即≤a≤5时，

L_max=L(6+a)=(6+a-3-a)［12-(6+a)］²

=4(3-a)³.

所以Q(a)=

答  若3≤a＜，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润L最大，最大值Q（a）=9(6-a)（万元）；若≤a≤5，则当每件售价为(6+a)元时，分公司一年的利润L最大，最大值Q(a)=4（3-a）³(万元).